是否存在不完整的拓扑向量空间(度量空间)的示例?

连续函数的空间[math] f:[0,1] \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math]关于规范

[math] \ displaystyle \ | f \ | _p = \ left(\ int_0 ^ 1 | f(x)| ^ p dx \ right)^ {\ frac {1} {p}},[/ math]

其中[math] 1 \ leq p <\ infty [/ math]未完成。 它的完成称为Lp空间,它出现在许多数学领域。 特别是[math] L ^ 2 [0,1] [/ math]是具有内积的内积空间

[math] \ displaystyle \ langle f,g \ rangle_2 = \ int_0 ^ 1 f(x)g(x)dx [/ math]。

间隔不必是[math] [0,1] [/ math]。 定义可以自然地扩展到函数[math] \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math](你需要连续函数在这种情况下具有紧致支持,因此规范是有限的)甚至是复数值职能。

顺便说一下,完整字段上的任何有限维空间都是完整的,所以你看到的不完整空间的唯一例子是不完整的字段(例如[math] \ mathbb {Q} [/ math])或者是无限的维。

到目前为止答案很好。 我将在区间[math] [a,b]上添加多项式函数的空间。 [/数学]

(对读者的练习:该空间上有哪些自然拓扑?为什么它不会与您选择的拓扑相竞争?)

拓扑向量空间没有指标。 它们中的大多数甚至不能作为拓扑空间:标准的例子是空间

[math] \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}:= \ {f:\ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \; | \; f \ text {是一个函数} \} [/ math]

配备了产品拓扑结构(即逐点收敛的拓扑结构),尽管这个事实的证明是非常重要的,但它不可能被计量,因为它不是[math] T_4 [/ math]。

存在可以应用于拓扑向量空间的非度量完整性概念。 我们可以说一个点[math] x_n [/ math]的序列是Cauchy,如果,对于原点的每个开放邻域U ,有一些数字N ,其中[math] x_n – x_m \在U [/ math]中所有[math] m,n> N [/ math]。 然后你可以用通常的方式定义完整性,尽管你出于技术原因实际上想要使用网络而不是序列。

当然,任意拓扑向量空间都不享有这个属性。 例如,您可以在此处看到许多其他答案。

因此,如上所述,问题并没有真正有意义。

无限的实数序列(a1,a2,a3,a4,……)的空间W,其中只有有限多(可能没有)的ai是非零的。 使用通常的欧几里德度量:distance(a,b)= Sqrt [sum_i((ai-bi)^ 2)]。

由R(实数集合)上的自然拓扑在Q(有理数集合)上引起的拓扑作为度量空间是不完整的,并且它是计算机科学的重要环境。