如果执行SHM的对象的微分方程为[math] \ dfrac {\ text {d} ^ 2 x} {\ text {d} t ^ 2} + Ax = 0 [/ math],那么时间段是多少振荡?

要回答这个问题,您必须解决所讨论的微分方程(顺便说一句,它没有指定边界条件):

[数学] \ ddot x = -Ax \标签{1} [/数学]

点运算符通常是指时间的导数

这是一种实现方法:指定:

[math] \ omega ^ 2 = A \ tag {2} [/ math]

并在( 1 )的左侧扩展[math] \ ddot x [/ math]的定义作为[math] \ dot x [/ math]随时间的一阶导数:

[数学] \ dfrac {d \ dot x} {dt} = – \ omega ^ 2 x \ tag {3} [/ math]

将( 3 )的两边乘以[math] dt [/ math]:

[math] d \ dot x = – \ omega ^ 2 x dt \ tag {4} [/ math]

将( 4 )的两边乘以[math] \ dot x [/ math],并在( 4 )的右侧扩展[math] \ dot x [/ math]的定义:

[数学] \ dot xd \ dot x = – \ omega ^ 2 x dt \ dfrac {dx} {dt} = – \ omega ^ 2 xdx \ tag {5} [/数学]

对( 5 )的两边进行积分:

[数学] \ dot x ^ 2 = – \ omega ^ 2 x ^ 2 + C \ tag {6} [/数学]

在这里,我们将( 6 )的两边乘以[math] 2 [/ math]并将其折叠为积分常数[math] C [/ math]。

为了恢复C,需要初始条件。 假设它们是:

[数学] \ dot x(0)= 0,\; x(0)= x_0 \ tag {7} [/数学]

然后:

[math] C = \ omega ^ 2 x_0 ^ 2 \ tag {8} [/ math]

因此,( 6 )变为:

[math] \ Big(\ dfrac {dx} {dt} \ Big)^ 2 = \ omega ^ 2x_0 ^ 2 – \ omega ^ 2x ^ 2 \ tag {9} [/ math]

分离( 9 )中的变量,并从( 9 )左侧的[math] x_0 [/ math]到[math] x [/ math]积分,以及从[math] 0 [/ math]到[math]积分( 9 )右侧的t [/ math]:

[math] \ dfrac {dx} {\ sqrt {x_0 ^ 2 – x ^ 2}} = \ omega dt \ tag {10} [/ math]

[数学] \ displaystyle \ int_ {x_0} ^ x \ dfrac {dx} {\ sqrt {x_0 ^ 2 – x ^ 2}} = \ int_0 ^ t \ omega dt = \ omega t \ tag {11} [/数学]

使用[math] x = x_0 \ sin u [/ math]代替( 11 )左侧的积分:

[math] \ arcsin \ dfrac {x} {x_0} – \ dfrac {\ pi} {2} = \ omega t \ tag {12} [/ math]

[数学] \ arcsin \ dfrac {x} {x_0} = \ omega t + \ dfrac {\ pi} {2} \ tag {13} [/ math]

[math] x = x_0 \ sin \ Big(\ omega t + \ dfrac {\ pi} {2} \ Big)= x_0 \ cos \ omega t \ tag {14} [/ math]

由于函数[math] \ cos(x)[/ math]是周期的,其周期等于[math] 2 \ pi [/ math],因此,经过一段特殊的时间后,称为周期 [math] T [/ math],坐标的大小将开始采用相同的值:

[数学] \ omega T = 2 \ pi \ tag {15} [/数学]

要么:

[math] T = \ dfrac {2 \ pi} {\ omega} = \ dfrac {2 \ pi} {\ sqrt {A}} \ tag {16} [/ math]

[数学] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} + Ax = 0 \ iff \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} = -Ax \ tag * {} [/ math]

其中[数学] \ displaystyle A =(\ omega)^ 2 \ tag * {} [/数学]

这是二阶齐次微分方程。

[math] \ displaystyle x = e ^ {kt},\ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} = ke ^ {kt},\ frac {\ text {d} ^ 2x} { \ text {d} t ^ 2} = k ^ 2e ^ {kt} \ tag * {} [/ math]

[数学] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} =-\ omega ^ 2 x \ iff k ^ 2e ^ {kt} =-\ omega ^ 2e ^ { kt} \ tag * {} [/ math]

[数学] \ displaystyle k ^ 2e ^ {kt} =-\ omega ^ 2e ^ {kt} \ iff k ^ 2 =-\ omega ^ 2 \ tag * {} [/ math]

[数学] \ displaystyle k ^ 2 =-\ omega ^ 2 \ iff k = \ pm i \ omega \ tag * {} [/数学]

[数学] \ displaystyle x = A \ cos \ omega t + B \ sin \ omega t \ tag * {} [/ math]

施加条件

[数学] \ displaystyle t = 0,x = x_0,v = 0 \ tag * {} [/数学]

[math] \ displaystyle x_0 = A \ tag * {} [/ math]

[math] \ displaystyle 0 = B \ omega \ cos \ omega t \ tag * {} [/ math]

[数学] \ displaystyle x = x_0 \ cos \ omega t \ tag * {} [/数学]

欧米茄(Omega)定义为一个对象完成一个周期所花费的时间。

[math] \ displaystyle \ omega = \ frac {2 \ pi} {T} \ iff T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} \ tag * {} [/ math]

[数学] \ displaystyle T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} \ iff T = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt A} \ tag * {} [/ math]

我猜你的意思是[数学] x [/数学]而不是[数学] y [/数学]。 在这种情况下

[数学] \ dfrac {\ text {d} ^ 2 x} {\ text {d} t ^ 2} = -Ax [/ math]

解决方案类似于[math] x = \ sin \ omega t [/ math],其中[math] \ omega ^ 2 = A [/ math],因此周期为[math] \ frac {2 \ pi} {\ omega} = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt A} [/ math]。