当y = x ^ x ^ x ^ 4时,dy / dx是什么?

令[数学] y = x ^ {f(x)} [/数学]。 然后,取双方的ln

[数学] \ ln y = f(x)\ ln x [/数学],或

[数学] \ frac {1} {y} \ frac {dy} {dx} = f’(x)\ ln x + \ frac {f(x)} {x} [/ math]。

重新排列,[math] \ frac {dy} {dx} = y(f’(x)\ ln x + \ frac {f(x)} {x})= x ^ {f(x)}(f’( x)\ ln x + \ frac {f(x)} {x})[/数学]。 在这种情况下,如果f(x)本身与y具有相同的形式,即[math] f(x)= x ^ {g(x)} [/ math],则可以将其递归地应用于[math] f’(x)[/ math]。 在大多数情况下,最终结果将非常混乱,但是一旦获得此结果,则只需插入一个简单问题。

我想,您只要求一阶导数,

(y = x ^ x ^ x ^ 4)的dy / dx→如果y = x ^ x并且x> 0,则ln y = ln(x ^ x)

因此,ln(y)= ln(x ^ x)→ln(y)= x(ln x)→dy / dx(1 / y)= ln x + x(1 / x)= ln x + 1→(两侧乘以“y”)dy / dx =(ln x +1)y→dy / dx =(ln x +1)(x ^ x)

使用上面的方法,我们可以找到(x ^ x ^ x ^ 4)的微分,即(y =(x ^ x ^ x ^ 4))的dy / dx,我尝试在这里解决-只要,

首先,应用对数规则

ln(ln(y))= ln(x ^ x(ln(x))→ln(y)= x ^ x(ln x)→ln(ln(y)= ln(x ^ x(ln(x)) )→ln(ln(y))= ln(x ^ x)+ ln(x)→ln(ln(y)= x ln(x)+ ln(x)→(1 / ln(y))(1 / y)dy / dx = ln(x)+ x / x + 1 / x→dy / dx =(ln(x)+1 + 1 / x)(y(ln(y)))→dy / dx = (ln(x)+ 1/1 / x)(x ^ x ^ x(ln(x ^ x ^ x)))

因此,

如果y = x ^ x ^ x ^ 4并且x> 0,则

ln(y)= ln(x ^ x ^ x ^ 4)→ln(y)= x ^ x ^ 4(ln(x))→ln(ln(y)= ln(x ^ x ^ 4(ln( x))→ln(ln(y)= ln(x ^ x ^ 4)+ ln(ln(x))→ln(ln(y))= x ^ 4(ln(x))+ ln(ln( x))→ln(ln(ln(y(y))= ln((x ^ 4(ln(x)))+ ln(ln(x)))→

/ *(ln(ln(ln(ln(y)))= ln((x ^ 4(ln(x)))ln(ln(x)))* /

(/ * ln(ln(ln(ln(y))= ln(x ^ 4(ln(ln(x())))ln(x))* /)/ *对数对数的应用规则log(a + b)= log (a *(1 + b / a))=记录a + log(1 + b / a)* /

ln(ln(ln(y))= ln((x ^ 4(ln(x)))+ ln(ln(x)))→ln(ln(ln(y))= ln((x ^ 4( ln(x)))*(1 + ln(ln(x))/ x ^ 4(ln(x)))→ ln(ln(ln(y(y))= ln(x ^ 4(ln(x))) + ln(1 + ln(ln(x))/ x ^ 4(ln(x))→现在,我们可以尝试获得一阶导数,即1 /(ln(ln(y()))1 / ln( y)(1 / y)dy / dx = 1 / {ln((x ^ 4(ln(x)))+ ln(ln(x)))}→dy / dx = [1 / {ln((x ^ 4(ln(x)))+ ln(ln(x)))} * {y * ln(y)* ln(ln(y))} —> dy / dx = [1 / {ln(( x ^ 4(ln(x)))+ ln(ln(x)))} * {x ^ x ^ x ^ 4 * ln(x ^ x ^ x ^ 4)* ln(ln(x ^ x ^ x ^ 4))}→dy / dx = [1 / {((x ^ 4(ln(x)))+ ln(ln(x)))}] *(4xln(x)+(x ^ 4 / x)+ 1 / ln(x)1 / x)* {x ^ x ^ x ^ 4 * ln(x ^ x ^ x ^ 4)* ln(ln(x ^ x ^ x ^ 4))}}

以上答案可能是错误的,我正在阅读内森·科先生的答案,

ln(x ^ y)= yln(x)→ln(y)= x ^ x ^ 4ln(x)→ln(ln(y))= x ^ 4ln(x)+ ln(ln(x))/ * Coe使用对数的关联属性* /→

ln(ln(ln(y))= ln(x ^ 4ln(x)+ ln(ln(x)))→现在如何求解?

自然对数函数和隐式微分是您的朋友。 观察一下。

我们从[math] y = x ^ {x ^ {x ^ 4}} [/ math]开始。 现在,以双方的自然对数为例,回想[ln](x ^ y)= yln(x)[/ math]。

[数学] ln(y)= x ^ {x ^ 4} ln(x)[/数学]

再次做一遍,回想一下[ln] x [ln] = ln [x] + ln [y] [/ math]。

[数学] ln(ln(y))= x ^ 4ln(x)+ ln(ln(x))[/数学]

再次为相机。

[数学] ln(ln(ln(y(y)))= 4ln(x)+ ln(ln(x))+ ln(ln(ln(x)))[/ math]

好吧,这看起来比以前更令人困惑,但是看起来可能在欺骗。 在这种情况下,我们可以使用差异化工具来解决:产品和链式规则。 因此,两边都取导数。

[数学] \ dfrac {1} {ln(ln(y())} \ dfrac {1} {ln(y)} \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {4} {x} + \ dfrac {1} {ln(x)} \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {ln(ln(x())} \ dfrac {1} {ln(x)} \ dfrac {1} {x} [/ math]

将两侧乘以涉及[y] y [/ math]的分数。

[数学] \ dfrac {dy} {dx} = ln(ln(y))ln(y)y(\ dfrac {4} {x} + \ dfrac {1} {ln(x)} \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {ln(ln(x))} \ dfrac {1} {ln(x)} \ dfrac {1} {x})[/ math]

回想一下我们在努力实现差异化功能时的上述步骤吗? 我们可以使用它们将导数转换为[math] x [/ math]。

[数学] \ dfrac {dy} {dx} =(x ^ 4ln(x)+ ln(ln(x)))(x ^ {x ^ 4} ln(x))(x ^ {x ^ {x ^ 4}}}(\ dfrac {4} {x} + \ dfrac {1} {ln(x)} \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {1} {ln(ln(x))} \ dfrac {1} {ln(x)} \ dfrac {1} {x})[/数学]

我知道那是一团糟(现在没有纸张可以简化工作),但是tada。

[math] y = x ^ {x ^ {x ^ 4}} [/ math]

[数学] \ ln(y)= \ ln \ left(x ^ {x ^ {x ^ 4}} \ right)[/数学]

[数学] \ ln(y)= x ^ {x ^ 4} \ ln(x)[/数学]

[数学] \ ln \ ln(y)= \ ln \ left(x ^ {x ^ 4} \ ln(x)\ right)[/数学]

[数学] \ ln \ ln(y)= x ^ 4 \ ln(x)+ \ ln \ ln(x)[/数学]

[数学] \ mathrm d \ ln \ ln(y)= \ mathrm d \ left(x ^ 4 \ ln(x)+ \ ln \ ln(x)\ right)[/ math]

[数学] \ dfrac {1} {\ ln(y)} \,\ mathrm d \ ln(y)= \ mathrm d \ left(x ^ 4 \ ln(x)\ right)+ \ mathrm d \ ln \ ln(x)[/数学]

[数学] \ dfrac {1} {y \ ln(y)} \,\ mathrm dy = \ ln(x)\,\ mathrm dx ^ 4 + x ^ 4 \,\ mathrm d \ ln(x)+ \ dfrac {1} {\ ln(x)} \,\ mathrm d \ ln(x)[/ math]

[math] \ dfrac {1} {y \ ln(y)} \,\ mathrm dy = 4x ^ 3 \ ln(x)\,\ mathrm dx + x ^ 3 \,\ mathrm dx + \ dfrac {1} { x \ ln(x)} \,\ mathrm dx [/ math]

[math] \ dfrac {1} {y \ ln(y)} \,\ mathrm dy =(4 \ ln(x)+1)x ^ 3 \,\ mathrm dx + \ dfrac {1} {x \ ln( x)} \,\ mathrm dx [/ math]

[数学] \ dfrac {1} {y \ ln(y)} \,\ mathrm dy = \ left((4 \ ln(x)+1)x ^ 3 + \ dfrac {1} {x \ ln(x )} \ right)\,\ mathrm dx [/ math]

[数学] \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = y \ ln(y)\ left((4 \ ln(x)+1)x ^ 3 + \ dfrac {1} {x \ ln(x )} \ right)[/ math]

[math] y = x ^ {x ^ {x ^ {4}}}} \\ let \ quad u = {x} ^ {{x} ^ {4}} \\ let \ quad v = {x} ^ { 4} \\ y = {x} ^ {u} \\ y’= {\ left(u’\ ln {x} + \ frac {u} {x} \ right)} {x} ^ {u} \ \ \ begin {align} u’&= {\ left(v’\ ln {x} + \ frac {v} {x} \ right)} {x} ^ {v} \\&= \ left(4 { x} ^ {3} \ ln {x} + {x} ^ {3} \ right){x} ^ {{x} ^ {4}} \\ \ end {align} \\ y’= {\ left (\ ln {x} \ left(4 {x} ^ {3} \ ln {x} + {x} ^ {3} \ right){x} ^ {{x} ^ {4}} + {x} ^ {{x} ^ {4 -1} \ right)} x ^ {x ^ {x ^ {4}}}} [/ math]

简化自己。 干杯!