如何求解dy / dx = y(x).y(-x)

我们有[math] \ frac {d} {dx} f(x)= f(x)* f(-x)[/ math]。 让我们将其写为[math] f’(x)= f(x)* f(-x)[/ math],并将其标记为公式[math] I [/ math]。

从等式[math](I)[/ math],我们可以证明[math] f’(x)[/ math]是偶函数:[math] f’(-x)= f(-x) * f(-(-x))= f(x)* f(-x)= f’(x)[/ math]; 我们的第二个方程是[数学] f’(-x)= f’(x)(II)[/数学]。

这意味着[math] f(x)[/ math]必须是一个可以描述为奇数函数和常数之和的函数。 理解为什么发生这种情况的一种方法是查看[math] f(x)[/ math]的多项式展开。 如果我们写[math] f(x)= a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ 2 +…[/ math]并取导数,则我们有[math] f’(x) = a_ {1} + 2a_ {2} x + 3a_ {3} x ^ 2 +…[/ math]并且由于该导数是偶数,所以[math] f’(x)[/ math]的所有项都带有奇数指数的系数必须为[math] 0 [/ math]; 这意味着[math] f(x)[/ math]的偶数次幂的所有系数必须为[math] 0 [/ math],[math] a_ {0} [/ math]除外,其余是奇数函数的剩余系数,因为对奇数次幂取的[math](-x)[/ math]等于对它取[math] x [/ math]的[math](-1)[/ math]乘以同样的奇数力量。

因此,写[math] f(x)= g(x)+ k [/ math],这样[math] g(-x)= -g(x)[/ math]和[math] k [/ math] ]是一个实常数。

[math] f’(x)= g’(x)[/ math],因此[math] g’(x)= f(x)* f(-x)=(g(x)+ k)( -g(x)+ k)=-(g(x))^ 2 + k ^ 2 [/ math]

现在,我们还有另一个方程要求解,但形式更友好:[math] g’= -g ^ 2 + k ^ 2 [/ math]

为了解决这个问题,我们可以执行以下操作:

首先,我们希望我们的情况是[math] k [/ math]等于[math] 0 [/ math],因为这将大大减少所需的工作量。 如果[math] k = 0 [/ math],实际上我们有[math] f’(x)=-(f(x))^ 2 [/ math],我们可以直接解决。

[math] \ frac {df} {dx} = -f ^ 2 [/ math]; [math] \ frac {-1} {f ^ 2} df = dx [/ math],因此[math] \ frac {1} {f(x)} = x + c [/ math],[math] c [/ math]是我们的积分常数,因此[math] f(x)= \ frac {1} {x + c} [/ math],因此,如果有这种形式的解决方案,则意味着我们选择[math] ] k [/ math]可能有效。 现在,由于[math] f(x)= g(x)[/ math]且[math] g(x)[/ math]是奇数,因此[math] f(x)[/ math]也必须是将限制我们的解决方案领域:

[数学] f(x)= -f(-x)\至\ frac {1} {x + c} = \ frac {-1} {-x + c} \ to -x + c = -x – c \ to 2c = 0 \ to c = 0 [/数学]

因此[math] f(x)= \ frac {1} {x} [/ math]是我们针对此情况的解决方案,此外,它是满足此条件的唯一函数–如果[math] k = 0 [/ math] ]。

如果[math] k \ neq 0 [/ math],我们可能会遇到一些麻烦,但我可以在以后进行扩展。

根据这个定义,显然y’(x)是偶数,这意味着存在一个常数C,使得y(x)= z(x)+ C,其中z为奇数。

[数学] \压裂{DZ} {DX} = \压裂{DY} {DX} = Z(x)的* Z(-x)= – Z(x)的^ 2 [/数学]

[数学] \压裂{-dz} {Z ^ 2} = DX [/数学]

[数学] \压裂{1} {Z} = X + d [/数学]

[数学] Z = \压裂{1} {X + d} [/数学]

[数学] Y = \压裂{1} {X + d} + C [/数学]

但这必须是一个可行的解决方案,对于y’,即使我们必须使D = 0

那么如果我们区分y,我们看到C必须为零

因此y(x)= 1 / x似乎是唯一的解决方案。

这有点棘手。

假设[math] y = y(x)[/ math]是奇数,因此[math] y(x)=-y(-x)[/ math]。 然后我们得到[math] y’= \ frac {dy} {dx} =-y ^ 2 [/ math]。 通过分离变量,我们可以得出[math] \ int \ frac {dy} {y ^ 2} = \ int dx [/ math]。 整合双方,我们得到[math] \ frac {1} {y} = x + c [/ math]。 取双方的倒数,我们得出[math] y = \ frac {1} {x + c} [/ math]。 快速测试(留给读者练习)确实验证了当[math] c = 0 [/ math]时,该函数是否为奇数。 因此,[math] y = \ frac {1} {x} [/ math]是微分方程[math] \ frac {dy} {dx} = y ^ 2 [/ math]的解。