我如何证明对于0 <a <b,如果h由1 / h = 1/2(1 / a + 1 / b)定义,那么a <h <b?

您所说的hab的谐波平均值,可以表示为2 ab /( a + b )。 来自:
[数学] \ frac {1} {h} = \ frac {1 / a + 1 / b} {2} [/ math]。
取倒数:
[math] h = \ frac {2} {1 / a + 1 / b} = \ frac {2} {1 / a + 1 / b} \ frac {ab} {ab} = \ frac {2ab} {b + a} [/ math]。

因此,问题是a <2 ab /( a + b )< b

由于a < b ,我们有一个 ²= aa < ab < bb = b²。

因此, aa + b )= a²+ ab < ab + ab < ab + b²=( a + bb

因此, aa + b )<2 ab <( a + bb

将不等式的所有三个部分除以a + b
a <2 ab /( a + b )< b

中间部分是h ,因此a < h < b ,这已被证明。

但是,我们可以对h施加更严格的限制:
a < h <( a + b )/ 2 < a + b ,第三部分是ab的算术平均值。

因此,对于两个不同的正数,两个值的谐波平均值大于较小的值,并且小于两个值的算术平均值,后者又小于两个值中的较大的值。 如果a = b ,则所有<符号都被等号替换。

例如, a = 40, b =60。算术平均值为(40 + 60)/ 2 =50。谐波平均值为2×40×60 /(40 + 60)= 4800/100 = 48。
40 <48 <50 <60。

(这与以下问题有关:如果您单程往返137公里,平均出站速度为40公里/小时,回程时平均为60公里/小时,则整个行程中您的平均速度是多少? :不是50 km / h。)