如何求解以下微分方程:[math](1 + x ^ {2})\ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = \ dfrac {4x ^ {3} y} {(1-x ^ { 2})} [/数学]

[数学](1 + x ^ 2)\ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {4x ^ 3y} {1-x ^ 2} [/ math]

[math] \ implies \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} [/ math]

[数学] = \ dfrac {4x ^ 3} {(1 + x ^ 2)(1-x ^ 2)} [/数学]

[math] \ implies \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} [/ math]

[math] \ implies \ dfrac {dy} {y} [/ math]

[math] = \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} dx [/ math]

[数学] \暗示\ displaystyle \ int \ dfrac {dy} {y} = \ displaystyle \ int \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} dx [/ math]

lhs上的积分是[math] \ ln [/ math] | [math] y [/ math] |

对于rhs的积分,令[math] u = 1-x ^ 4 [/ math],从中[math] du = -4x ^ 3dx [/ math]

这意味着

[数学] \ displaystyle \ int \ dfrac {4x ^ 3} {1-x ^ 4} dx [/ math]

[math] = \ displaystyle-\ int \ dfrac {-4x ^ 3} {1-x ^ 4} [/ math]

[math] = \ displaystyle-\ int \ dfrac {du} {u} [/ math]

因此,您有[数学] \ displaystyle \ int \ dfrac {dy} {y} = \ displaystyle-\ int \ dfrac {du} {u} [/ math]

[数学] \表示ln | y | = -ln | u | + C [/ math]

[数学] \表示ln | y | = ln(| u | ^ {-1})+ C [/ math]

[math] \ implies e ^ {ln | y |} = e ^ {ln(\ frac {1} {| u |} + C)} [/ math]

[math] \ implies | y | = [/ math] [math] e ^ {ln(\ frac {1} {| u |})}×e ^ C [/ math]

[数学] | y | = \ dfrac {1} {| u |}×e ^ C [/数学]

因为[math] e ^ C [/ math]是一个常数

令[e] ^ C = K [/ math]。

用[math] 1-x ^ 4 [/ math]替换[math] u [/ math]并得到

[math] y = \ pm K(\ dfrac {1} {1-x ^ 4})[/ math]

[数学] \表示y(1-x ^ 4)= \ pm K [/数学]

这个问题已经有人问过了,解决方法是

y = k / [1-x ^ 4],请注意,分子是常数而不是x的函数。

让我们倒退

dy / dx =(0 – k [– 4x ^ 3])/ [1-x ^ 4] ^ 2

dy / dx =(4x ^ 3 / [1-x ^ 4])(k / [1-x ^ 4])

dy / dx =(4x ^ 3 / [1-x ^ 4])(y)

(1 + x ^ 2)[dy / dx] = 4x ^ 3 .y / [1-x ^ 2],所以有人告诉您错误的解决方案并浪费了您的时间。