我如何证明如果[math] f:A \到C [/ math]是一个映射,那么有一个on映射[math] g:A \到B [/ math]和一对一的映射[ math] h:B \ to C [/ math]这样[math] f = h \ circ g [/ math]?

令[数学] f:A \至C [/数学]为一个函数。 将集合[math] B [/ math]定义为[math] B:= \ {f(a):a \ in A \} [/ math]。 为[[math] g(x):= f(x)[/ math]为A [/ math]中的所有[math] x \定义一个函数[math] g:A \至B [/ math]。 同样,为B [/ math]中的所有[x] / x定义另一个函数[math] h:B \至C [/ math]乘[math] h(x):= x [/ math]。 现在我们显示[math] g [/ math]在上,[math] h [/ math]是一。

  • 为了证明[math] g:A \ to B [/ math]在上面,我们需要证明B [/ math]中的每个[math] y \\在A [/中都有一些[math] x \\数学],这样[数学] g(x)= y [/数学]。 因此,让[math] y \ in B [/ math]。 由于[math] B = \ {f(a):a \在A \} [/ math]和[math] y \在B [/ math]中,我们有[math] y = f(x)[/ math ]表示A [/ math]中的某[x] x \。 但是我们有[数学] g(x)= f(x)[/数学],因此[数学] y = g(x)[/数学]。 因此,在A [/数学]中存在[数学] x \,使得[数学] g(x)= y [/数学]。 因此,[g] g [/ math]在。
  • 为了证明[math] h:B \ to C [/ math]为一,我们需要证明对于B [/ math]中的所有[math] x_1 \ neq x_2 \\,我们都有[math] h( x_1)\ neq h(x_2)[/ math]。 令[math] x_1 \ neq x_2 \ in B [/ math]。 由于B [/ math]中每个[x] x \的[math] h(x)= x [/ math],我们有[math] h(x_1)= x_1 \ neq x_2 = h(x_2)[/ math] ]。 因此,[h] h [/ math]为一。

最后,我们证明[math] f = h \ circ g [/ math]。 我们需要证明,对于A [/ math]中的每个[math] x \,我们都有[math] f(x)= h \ circ g(x)[/ math]。 设[math] x \ A [/ math]。 我们有[数学] h \ circ g(x)= h(g(x))[/数学]。 但是我们有[math] g(x)= f(x)[/ math]和[math] h(f(x))= f(x)[/ math]。 因此,[h] h \ circ g(x)= f(x)[/ math]。 这表明[数学] f = h \ circ g [/数学]。

[数学] \ Box [/数学]