微积分或微分方程之后的下一级数学是什么?

完成微积分系列课程后,您应该学习线性代数并介绍常微分方程。 事实证明,线性代数和ODE之间的联系非常紧密。 ODE的解形成向量空间。 求解ODE的线性系统与相应矩阵的特征值和特征向量相连。

然后,一旦完成了线性代数和ODE运算,便可以采取许多方法。

  • 真实分析
    • 在这里,您将重新审视微积分的基本思想,现在您将逐步进行微积分。 涵盖了有关序列极限,函数极限,连续性类型,导数,积分等的定义和定理。 我花了整整一个学期的时间才得出微积分的基本定理。
    • 然后,第二学期通常包括一个以上变量的函数,以及第一学期对事物的概括,度量空间,范数向量空间,基本点集拓扑等。
  • 复杂分析
    • 这是对复杂变量的功能的研究。 区分和集成复杂功能等想法。 全纯和亚纯函数的理论。 分数线性(Moebius)转换等。 这里有很多集成实值函数的技术更有意义。
  • 数值分析与方法
    • 对算法的研究及其在解决数学问题中的应用。 数值方法可用于查找函数的根,求解方程的线性系统,内插/外推函数以及求解微分方程。 该领域与可计算性理论密切相关。
  • 抽象代数
    • 也称为现代代数,或简称为普通代数。 在这里,您研究的对象集合比您习惯使用的数字更笼统。 Monoid,组,环,域等以及它们的定理和证明都包括在内。 这个数学领域与数论,代数几何,代数拓扑和密码学紧密相关。
  • 概率统计
    • 随机变量,期望值,方差,相关性,数据分析等。 测度理论通常会采用一种严格的方法。

然后,在我的研究中,我还参加了偏微分方程,优化理论,泛函分析,测度理论,拓扑,流形理论,数值线性代数,数值PDE等课程。

一旦掌握了微积分和微分方程,就可以进入很多方向。我认为这个问题不能给出明确的答案。 理解微积分和微分方程后,需要研究的适当主题包括:

  • 实数分析,这是一种对实值函数进行演算的更为严格的方法。
  • 复杂分析,涉及应用于复杂变量的复杂值函数的演算。 它具有与真实分析完全不同的风格,因此不要以为您需要先进行真实分析。
  • 如果您还不熟悉线性代数,那么此时您应该认真考虑学习。 如果您学习了将微分方程和线性代数相结合的课程,则应该意识到,本课程可能没有涉及很多有用且有趣的线性代数,因此建议您进一步研究。

从工程角度来看:

变分演算

数值方法

统计

ODE BVP和PDE